Bac S - Pondichéry - Avril 2013

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
EXERCICE 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie 1
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
[color][font]

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] où [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sont des constantes réelles positives, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est la variable temps exprimée en jours et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. 
On sait qu'initialement, pour [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m. 
Déterminer les constantes [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] afin que la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. 

Partie 2
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] définie sur [0 ; 250] par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 

1. Déterminer [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ([ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] désignant la fonction dérivée de la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]). 
En déduire les variations de la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sur l'intervalle [0 ; 250]. 

2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m. 

3. a) Vérifier que pour tout réel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] appartenant à l'intervalle [0 ; 250] on a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
Montrer que la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] définie sur l'intervalle [0 ; 250] par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est une primitive de la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    b) Déterminer la valeur moyenne de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sur l'intervalle [50 ; 100]. 
En donner une valeur approchée à 10^-2 près et interpréter ce résultat. 

4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. 
Estimer alors la hauteur du plant. 


4 POINTS
EXERCICE 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question. 

L'espace est rapporté à un repère orthonormal. [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] désignent des paramètres réels. 
Le plan (P) a pour équation [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
Le plan (S) a pour représentation paramétrique [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] 
La droite (D) a pour représentation paramétrique [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] 
On donne les points de l'espace M(-1 ; 2 ; 3) et N(1 ; -2 ; 9). 

1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :
[/font][/color][color][font]


2. a) La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A(- 8 ; 3 ; 2). 
    b) La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. 
    c) La droite (D) est une droite du plan (P). 
    d) La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles. 

3. a) La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. 
    b) La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. 
    c) La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. 
    d) La droite (MN) et la droite (D) sont confondues. 

4. a) Les plans (P) et (S) sont parallèles. 
    b) La droite [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] de représentation paramétrique [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est la droite d'intersection des plans (P) et (S). 
    c) Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S). 
    d) Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires. 


5 POINTS
EXERCICE 3 - CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
On note i le nombre complexe tel que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
On considère le point A d'affixe [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et le point B d'affixe [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
À tout point M d'affixe [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], avec [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] deux réels tels que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], on associe le point M' d'affixe [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
On désigne par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] le milieu du segment [AM]. 
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] n'appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM' (propriété 1) et que BM' = 2 OI (propriété 2). 


1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    a) Déterminer la forme algébrique de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    b) Montrer que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Déterminer le module et un argument de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    c) Placer les points A, B, M, M' et I dans le repère [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en prenant 2 cm pour unité graphique. 
Tracer la droite (O[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique. 

2. On revient au cas général en prenant [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] avec [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    a) Déterminer l'affixe du point I en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    b) Déterminer l'affixe du point M' en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    c) Écrire les coordonnées des points I, B et M'. 
    d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM'. 
    e) Montrer que BM' = 2 OI. 


5 POINTS
EXERCICE 3 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux. 
Pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], on note [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] le nombre d'animaux jeunes après [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] années d'observation et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] le nombre d'animaux adultes après [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] années d'observation. Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
On admet que pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] on a :
[/font][/color][color][font]
On introduit les matrices suivantes : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et, pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 

1. a) Montrer que pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    b) Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut). 
    c) Pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] non nul, exprimer [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 

2. On introduit les matrices suivantes [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    a) On admet que la matrice [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est inversible et que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
Montrer que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    b) Montrer par récurrence sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] que pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] non nul : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    c) Pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] non nul, déterminer [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 

3. On admet que pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] non nul,
[/font][/color][color][font]

    a) En déduire les expressions de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et déterminer les limites de ces deux suites. 
    b) Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ? 


6 POINTS
EXERCICE 4 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe. 
   [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] Un salarié malade est absent 
   [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
   [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] Si la semaine [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] avec une probabilité égale à 0,04. 
   [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] Si la semaine [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] le salarié est malade, il reste malade la semaine [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] avec une probabilité égale à 0,24. 

On désigne, pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] supérieur ou égal à 1, par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] l'évènement «le salarié est absent pour cause de maladie la [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]-ième semaine». On note [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] la probabilité de l'évènement [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
On a ainsi : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et, pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] supérieur ou égal à 1 : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 

1. a) Déterminer la valeur de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] à l'aide d'un arbre de probabilité. 
    b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine. 

2. a) Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
[/font][/color][color][font]

    b) Montrer que, pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] supérieur ou égal à 1, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    c) Montrer que la suite [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] définie pour tout entier naturel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] supérieur ou égal à 1 par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. En déduire l'expression de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] puis de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    d) En déduire la limite de la suite [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    e) On admet dans cette question que la suite [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est croissante. On considère l'algorithme suivant : 
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]Variables 
    K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel 
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]Initialisation 
    P prend la valeur 0 
    J prend la valeur 1 
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]Entrée 
    Saisir la valeur de K 
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]Traitement 
    Tant que P [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] 
        P prend la valeur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] 
        J prend la valeur J+1 
    Fin tant que 
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]Sortie 
    Afficher J 

À quoi correspond l'affichage final J ? 
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ? 

3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. 
On désigne par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 
    a) Justifier que la variable aléatoire [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 
Calculer l'espérance mathématique [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et l'écart type [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] de la variable aléatoire [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. 
    b) On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. 
On note [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] pour quelques valeurs du nombre réel [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
[/font][/color][color][font]

Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b), une valeur approchée à 10^-2 près de la probabilité de l'évènement : «le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15».[/font][/color]

تحميا الملف
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

تحميل التصحيح